有限数学示例

\frac{4 x + 20}{{(x - 3)}^{2}} = 1

$\frac{4 x + 20}{{(x - 3)}^{2}} = 1$

解题步骤 1

从

4 x + 20

$4 x + 20$ 中分解出因数

4

$4$ 。

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解题步骤 1.1

从

4 x

$4 x$ 中分解出因数

4

$4$ 。

\frac{4 (x) + 20}{{(x - 3)}^{2}} = 1

$\frac{4 (x) + 20}{{(x - 3)}^{2}} = 1$

解题步骤 1.2

从

20

$20$ 中分解出因数

4

$4$ 。

\frac{4 x + 4 \cdot 5}{{(x - 3)}^{2}} = 1

$\frac{4 x + 4 \cdot 5}{{(x - 3)}^{2}} = 1$

解题步骤 1.3

从

4 x + 4 \cdot 5

$4 x + 4 \cdot 5$ 中分解出因数

4

$4$ 。

\frac{4 (x + 5)}{{(x - 3)}^{2}} = 1

$\frac{4 (x + 5)}{{(x - 3)}^{2}} = 1$

\frac{4 (x + 5)}{{(x - 3)}^{2}} = 1

$\frac{4 (x + 5)}{{(x - 3)}^{2}} = 1$

解题步骤 2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

{(x - 3)}^{2}, 1

${(x - 3)}^{2}, 1$

解题步骤 2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

{(x - 3)}^{2}

${(x - 3)}^{2}$

{(x - 3)}^{2}

${(x - 3)}^{2}$

解题步骤 3

将

\frac{4 (x + 5)}{{(x - 3)}^{2}} = 1

$\frac{4 (x + 5)}{{(x - 3)}^{2}} = 1$ 中的每一项乘以

{(x - 3)}^{2}

${(x - 3)}^{2}$ 以消去分数。

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解题步骤 3.1

将

\frac{4 (x + 5)}{{(x - 3)}^{2}} = 1

$\frac{4 (x + 5)}{{(x - 3)}^{2}} = 1$ 中的每一项乘以

{(x - 3)}^{2}

${(x - 3)}^{2}$ 。

\frac{4 (x + 5)}{{(x - 3)}^{2}} {(x - 3)}^{2} = 1 {(x - 3)}^{2}

$\frac{4 (x + 5)}{{(x - 3)}^{2}} {(x - 3)}^{2} = 1 {(x - 3)}^{2}$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

约去

{(x - 3)}^{2}

${(x - 3)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1

约去公因数。

\frac{4 (x + 5)}{{(x - 3)}^{2}} {(x - 3)}^{2} = 1 {(x - 3)}^{2}

$\frac{4 (x + 5)}{{(x - 3)}^{2}} {(x - 3)}^{2} = 1 {(x - 3)}^{2}$

解题步骤 3.2.1.2

重写表达式。

4 (x + 5) = 1 {(x - 3)}^{2}

$4 (x + 5) = 1 {(x - 3)}^{2}$

4 (x + 5) = 1 {(x - 3)}^{2}

$4 (x + 5) = 1 {(x - 3)}^{2}$

解题步骤 3.2.2

运用分配律。

4 x + 4 \cdot 5 = 1 {(x - 3)}^{2}

$4 x + 4 \cdot 5 = 1 {(x - 3)}^{2}$

解题步骤 3.2.3

将

4

$4$ 乘以

5

$5$ 。

4 x + 20 = 1 {(x - 3)}^{2}

$4 x + 20 = 1 {(x - 3)}^{2}$

4 x + 20 = 1 {(x - 3)}^{2}

$4 x + 20 = 1 {(x - 3)}^{2}$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

将

{(x - 3)}^{2}

${(x - 3)}^{2}$ 乘以

1

$1$ 。

4 x + 20 = {(x - 3)}^{2}

$4 x + 20 = {(x - 3)}^{2}$

4 x + 20 = {(x - 3)}^{2}

$4 x + 20 = {(x - 3)}^{2}$

4 x + 20 = {(x - 3)}^{2}

$4 x + 20 = {(x - 3)}^{2}$

解题步骤 4

求解方程。

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解题步骤 4.1

化简

{(x - 3)}^{2}

${(x - 3)}^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.1

重写。

4 x + 20 = 0 + 0 + {(x - 3)}^{2}

$4 x + 20 = 0 + 0 + {(x - 3)}^{2}$

解题步骤 4.1.2

将

{(x - 3)}^{2}

${(x - 3)}^{2}$ 重写为

(x - 3) (x - 3)

$(x - 3) (x - 3)$ 。

4 x + 20 = (x - 3) (x - 3)

$4 x + 20 = (x - 3) (x - 3)$

解题步骤 4.1.3

使用 FOIL 方法展开

(x - 3) (x - 3)

$(x - 3) (x - 3)$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

运用分配律。

4 x + 20 = x (x - 3) - 3 (x - 3)

$4 x + 20 = x (x - 3) - 3 (x - 3)$

解题步骤 4.1.3.2

运用分配律。

4 x + 20 = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)

$4 x + 20 = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)$

解题步骤 4.1.3.3

运用分配律。

4 x + 20 = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3

$4 x + 20 = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

4 x + 20 = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3

$4 x + 20 = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

解题步骤 4.1.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.4.1.1

将

x

$x$ 乘以

x

$x$ 。

4 x + 20 = x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3

$4 x + 20 = x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

解题步骤 4.1.4.1.2

将

- 3

$- 3$ 移到

x

$x$ 的左侧。

4 x + 20 = x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3

$4 x + 20 = x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3$

解题步骤 4.1.4.1.3

将

- 3

$- 3$ 乘以

- 3

$- 3$ 。

4 x + 20 = x^{2} - 3 x - 3 x + 9

$4 x + 20 = x^{2} - 3 x - 3 x + 9$

4 x + 20 = x^{2} - 3 x - 3 x + 9

$4 x + 20 = x^{2} - 3 x - 3 x + 9$

解题步骤 4.1.4.2

从

- 3 x

$- 3 x$ 中减去

3 x

$3 x$ 。

4 x + 20 = x^{2} - 6 x + 9

$4 x + 20 = x^{2} - 6 x + 9$

4 x + 20 = x^{2} - 6 x + 9

$4 x + 20 = x^{2} - 6 x + 9$

4 x + 20 = x^{2} - 6 x + 9

$4 x + 20 = x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 4.2

因为

x

$x$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

x^{2} - 6 x + 9 = 4 x + 20

$x^{2} - 6 x + 9 = 4 x + 20$

解题步骤 4.3

将所有包含

x

$x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 4.3.1

从等式两边同时减去

4 x

$4 x$ 。

x^{2} - 6 x + 9 - 4 x = 20

$x^{2} - 6 x + 9 - 4 x = 20$

解题步骤 4.3.2

从

- 6 x

$- 6 x$ 中减去

4 x

$4 x$ 。

x^{2} - 10 x + 9 = 20

$x^{2} - 10 x + 9 = 20$

x^{2} - 10 x + 9 = 20

$x^{2} - 10 x + 9 = 20$

解题步骤 4.4

从等式两边同时减去

20

$20$ 。

x^{2} - 10 x + 9 - 20 = 0

$x^{2} - 10 x + 9 - 20 = 0$

解题步骤 4.5

从

9

$9$ 中减去

20

$20$ 。

x^{2} - 10 x - 11 = 0

$x^{2} - 10 x - 11 = 0$

解题步骤 4.6

使用 AC 法来对

x^{2} - 10 x - 11

$x^{2} - 10 x - 11$ 进行因式分解。

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解题步骤 4.6.1

思考一下

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为

c

$c$ ，且和为

b

$b$ 。在本例中，其积即为

- 11

$- 11$ ，和为

- 10

$- 10$ 。

- 11, 1

$- 11, 1$

解题步骤 4.6.2

使用这些整数书写分数形式。

(x - 11) (x + 1) = 0

$(x - 11) (x + 1) = 0$

(x - 11) (x + 1) = 0

$(x - 11) (x + 1) = 0$

解题步骤 4.7

如果等式左侧的任一因数等于

0

$0$ ，则整个表达式将等于

0

$0$ 。

x - 11 = 0

$x - 11 = 0$

x + 1 = 0

$x + 1 = 0$

解题步骤 4.8

将

x - 11

$x - 11$ 设为等于

0

$0$ 并求解

x

$x$ 。

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解题步骤 4.8.1

将

x - 11

$x - 11$ 设为等于

0

$0$ 。

x - 11 = 0

$x - 11 = 0$

解题步骤 4.8.2

在等式两边都加上

11

$11$ 。

x = 11

$x = 11$

x = 11

$x = 11$

解题步骤 4.9

将

x + 1

$x + 1$ 设为等于

0

$0$ 并求解

x

$x$ 。

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解题步骤 4.9.1

将

x + 1

$x + 1$ 设为等于

0

$0$ 。

x + 1 = 0

$x + 1 = 0$

解题步骤 4.9.2

从等式两边同时减去

1

$1$ 。

x = - 1

$x = - 1$

x = - 1

$x = - 1$

解题步骤 4.10

最终解为使

(x - 11) (x + 1) = 0

$(x - 11) (x + 1) = 0$ 成立的所有值。

x = 11, - 1

$x = 11, - 1$

x = 11, - 1

$x = 11, - 1$

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